Question

【題目】如圖，在棱臺ABC﹣FED中，△DEF與△ABC分別是棱長為1與2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四邊形BCDE為直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N為CE中點， ．
（1）λ為何值時，MN∥平面ABC？
（2）在（1）的條件下，求直線AN與平面BMN所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 ，即M為AF中點時MN∥平面ABC．

事實上，取CD中點P，連接PM，PN，

∵AM=MF，CP=PD，∴MP∥AC，

∵AC平面ABC，MP平面ABC，∴MP∥平面ABC．

由CP∥PD，CN∥NE，得NP∥DE，

又DE∥BC，∴NP∥BC，

∵BC平面ABC，NP平面ABC，∴NP∥平面ABC．

∴平面MNP∥平面ABC，則MN∥平面ABC；

（2）解：取BC中點O，連OA，OE，

∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，

∵平面ABC⊥平面BCDE，且AO平面ABC，∴AO⊥平面BCDE，

∵OC= ，BC∥ED，∴OE∥CD，

又CD⊥BC，∴OE⊥BC．

分別以O(shè)E，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．

則A（0，0， ），C（0，1，0），E（1，0，0）， ，

∴F（1， ， ），M（ ， ， ），N（ ）．

設(shè) 為平面BMN的法向量，則

，取z=1，得 ．

cos＜ ＞= ．

∴直線AN與平面MNB所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）取CD中點P，連接PM，PN，可得MP∥AC，則MP∥平面ABC．再由已知證明NP∥平面ABC．得到平面MNP∥平面ABC，則MN∥平面ABC；（2）取BC中點O，連OA，OE，可證AO⊥BC，OE⊥BC．分別以O(shè)E，OC，OA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．求出所用點的坐標，得到平面BMN的法向量，求出＜ ＞的余弦值，即可得到直線AN與平面MNB所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．