Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E在棱CC₁上．
（1）求證：A₁E⊥BD；
（2）若E為棱CC₁的中點，求證：AC₁∥平面BED；
（3）當

CE

CC1

的值為多少時，二面角A₁-BD-E為直二面角？請給出證明．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結AC，BD，由已知得AC⊥BD，AA₁⊥BD，從而BD⊥平面ACC₁A₁，由此能證明A₁E⊥BD．
（2）連結AC，BD，交于點O，連結OE，則OE∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面BED．
（3）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標系，由此利用向量法能求出

CE

CC1

=

1

2

時，二面角A₁-BD-E為直二面角．

解答： （1）證明：連結AC，BD，
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥BD，
又AA₁∩AC=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∵A₁E?平面ACC₁A₁，∴A₁E⊥BD．
（2）證明：連結AC，BD，交于點O，連結OE，
∵ABCD是正方形，∴O是AC的中點，
∵E是CC₁中點，∴OE∥AC₁，
∵OE?平面BED，AC₁?平面BED，
∴AC₁∥平面BED．
（3）解：以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，CF=t（0≤t≤1），
A₁（0，0，1），B（1，0，0），D（0，1，0），E（1，1，t），

A1B

=（1，0，-1），

A1D

=（0，1，-1），
設平面A₁BD的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • A1B =x-z=0 n • A1D =y-z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，1），

BD

=（-1，1，0），

BE

=（0，1，t），
設平面BED的法向量

m

=（a，b，c），
則

m • BE =b+tc=0 m • BD =-a+b=0

，取a=1，得

m

=（1，1，-

1

t

），
∵二面角A₁-BD-E為直二面角，
∴

m

•

n

=1+1-

1

t

=0，解得t=

1

2

，
∴CF=

1

2

，∴

CE

CC1

=

1

2

時，二面角A₁-BD-E為直二面角．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查使二面角為直二面角的線段的比值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．