Question

下列四個(gè)命題中的假命題是（　　）

• A、?x∈R，e^x≥x+1
• B、?x∈R，e^-x≥-x+1
• C、?x₀＞0，lnx₀＞x₀-1
• D、?x₀＞0，ln

  1

  x0

  ＞-x₀+1

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：分別構(gòu)造對(duì)應(yīng)的函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)法分析函數(shù)的最值，進(jìn)而可逐一判斷出四個(gè)答案中對(duì)應(yīng)命題的真假，得到結(jié)論．

解答： 解：對(duì)于A，令f（x）=e^x-x-1，則f′（x）=e^x-1，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取最小值0，即f（x）≥0恒成立，
即?x∈R，e^x≥x+1，故正確；
對(duì)于B，令f（x）=e^-x+x-1，則f′（x）=-e^-x+1，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
故當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取最小值0，即f（x）≥0恒成立，
即?x∈R，e^-x≥-x+1，故正確；
對(duì)于B，令f（x）=lnx-x+1，則f′（x）=

1

x

-1，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取最大值0，即f（x）≤0恒成立，
即?x∈R，lnx≤x-1，故錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由C答案的分析過(guò)程得：當(dāng)x＞0且x≠1時(shí)，lnx＜x-1，
即?x₀＞0，使lnx₀＜x₀-1，即-lnx₀＜-x₀+1，即ln

1

x0

＞-x₀+1，故正確；
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體，考查了導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性和最值的方法，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于難題．