Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$+a（其中ω＞0，a∈R），f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)是$\frac{π}{6}$．且f（x）過點（$\frac{5π}{6}$，$\sqrt{3}$）．
（1）求ω和a的值；
（2）設(shè)g（x）=f（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，求g（x）的零點．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)是$\frac{π}{6}$求出ω的值；
再根據(jù)f（x）過點（$\frac{5π}{6}$，$\sqrt{3}$）求出a的值；
（2）寫出函數(shù)g（x）的解析式，令g（x）=0求出方程的解集即可得出函數(shù)的零點．

解答 解：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)是$\frac{π}{6}$，
得ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=1；
又f（x）過點（$\frac{5π}{6}$，$\sqrt{3}$），
∴sin（$\frac{5π}{6}$+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=$\sqrt{3}$，
解得a=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$；
（2）由（1）得函數(shù)f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$，
∴g（x）=f（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+$\frac{1}{2}$；
令g（x）=0，
即sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
解得2x+$\frac{2π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z或2x+$\frac{2π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z；
即x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z或x=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
∴g（x）的零點為x=kπ-$\frac{5π}{12}$，k∈Z或x=$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，以及函數(shù)零點的計算問題，是綜合性題目．