Question

14．已知函數f（x）=x-lnx+2k，在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上任取三個數a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，則k的取值范圍是（　　）

• A． （-1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （-∞，e-3）
• D． （$\frac{e-3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由${f}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}$，=0，得x=1，由導數性質得f（x）_min=f（1）=1+2k，f（x）_max=f（e）=e-1+2k，由題意得f（1）=1+2k＞0，且f（1）+f（1）＞f（e），由此能求出k的取值范圍．

解答 解：∵函數f（x）=x-lnx+2k，
∴x＞0，${f}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}$，
由f′（x）=0，得x=1，
∵x∈[$\frac{1}{e}$，e]，∴x∈[$\frac{1}{e}$，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，e]時，f′（x）＞0，
∴f（x）_min=f（1）=1+2k，f（x）_max=f（e）=e-1+2k，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+1+2k，
∵在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上任取三個數a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）為邊長的三角形，
∴f（1）=1+2k＞0，①
f（1）+f（1）＞f（e），即2+4k＞e-1+2k，②
聯(lián)立①②，得k＞$\frac{e-3}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查實數的求值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．