Question

13．如圖，直三棱柱ABC-DEF中，M是AB的中點(diǎn)．
（1）證明：BF∥平面CDM；
（2）設(shè)$AD=AC=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，求異面直線BF與DM所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）連接AF，交于CD與G，連接MG，則G 為AF中點(diǎn)，只要判定MG∥BF利用線面平行的判定定理可證；
（2）過G 作GH∥DM交MC與H，則H為MC的中點(diǎn)，所以∠MGH為異面直線BF與DM所成角，借助于余弦定理求大小．

解答 （1）證明：連接AF，交于CD與G，連接MG，則G 為AF中點(diǎn)，又M為AB中點(diǎn)，所以MG∥BF，
MG?平面CDM，BF?平面CDM，
所以BF∥平面CDM；
（2）解：因?yàn)?AD=AC=CB=2，AB=2\sqrt{2}$，所以∠ACB為直角，MC=$\sqrt{2}$，過G 作GH∥DM交MC與H，則H為MC的中點(diǎn)，所以∠MGH為異面直線BF與DM所成角，
在△MGH中，MG=$\frac{1}{2}$BF=$\sqrt{2}$，MH=$\frac{1}{2}$MC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，GH=$\frac{1}{2}DM$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由余弦定理得到異面直線BF與DM所成角的余弦值為$\frac{2+\frac{6}{4}-\frac{1}{2}}{2×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以異面直線BF與DM所成角的為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行的判定定理和空間異面直線所成的角求法；關(guān)鍵是正確轉(zhuǎn)化線線關(guān)系和平面角解答．