Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x．函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象如圖所示．
（1）寫出函數(shù)f（x），x∈R的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，求函數(shù)g（x）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（1）利用函數(shù)的奇偶性和已知的x≤0時(shí)解析式，求出函數(shù)在x＞0時(shí)的解析式，得到本題結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論得到函數(shù)g（x）的解析式，再通過分類討論研究二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
∵當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²+2x，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
f（x）=-f（-x）=-[（-x）²+（-x）]=-x²+2x，
∴f(x)=

x2+2x，(x≤0) -x2+2x，(x＞0)

．
（2）∵函數(shù)g（x）=f（x）-2ax+2，x∈[1，2]，
∴g（x）=-x²+（2-2a）x+2，x∈[1，2]，
當(dāng)1-a≤1時(shí)，[g（x）]_max=g（1）=3-2a；
當(dāng)1＜1-a≤2時(shí)，[g（x）]_max=g（1-a）=a²-2a+3；
當(dāng)1-a＞2時(shí)，[g（x）]_max=g（2）=2-4a．
∴[g（x）]_max=

3-2a，(a≥0) a2-2a+3，(-1≤a＜0) 2-4a，(a＜-1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、函數(shù)解析式、二次函數(shù)在區(qū)間上的值域，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．