Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)且導(dǎo)數(shù).
（1）試用含有的式子表示，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，且，如果在函數(shù)圖像上存在點(diǎn)（其中）使得點(diǎn)處的切線，則稱存在“相依切線”.特別地，當(dāng)時，又稱存在“中值相依切線”.試問：在函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值相依切線”？若存在，求的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（2）不存在點(diǎn)滿足題意. 

(1)求導(dǎo)，根據(jù)，可得,然后根據(jù)可得
。函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）解本題的突破口是假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件,
則,整理得:,
令,則問題轉(zhuǎn)化為方程:有根.
然后構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)解決。
解：(1)，，， …………… 1分  ，（舍去），，……… 2分 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.……………… 4分
(2) 假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件,
則,整理得:, ……………… 6分
令,則問題轉(zhuǎn)化為方程:有根,
設(shè),,……………… 9分
函數(shù)為上的單調(diào)遞增函數(shù),且,,
所以不存在使方程成立,
即不存在點(diǎn)滿足題意.                         ……………… 12分