已知圓M：x2+（y-1）2=1，圓N：x2+（y+1）2=1，直線l1，l2分別過圓心M，N，且l1與圓M相交于A，B，l2與圓N相交于C，D，P是橢圓
x2
3
+
y2
4
=1上的任意一動(dòng)點(diǎn)，則
PA
•
PB
+
PC
•
PD
的最小值為
 
．
考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,圓與圓錐曲線的綜合
專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：
PA
=
PM
+
MA
，
PB
=
PM
-
MA
，并且|
MA
|=1，所以便可得到
PA
•
PB
=
PM
2-1，同理可得到
PC
•
PD
=
PN
2-1．所以
PA
•
PB
+
PC
•
PD
=
PM
2+
PN
2-2=(
PM
+
PN
)2-2
PM
•
PN
-2=14-2
PM
•
PN
≤14-2(
|
PM
|+|
PN
|
2
)2=6．
解答： 6解：如圖所示，
PA
•
PB
=(
PM
+
MA
)•(
PM
+
MB
)=(
PM
+
MA
)•(
PM
-
MA
)=
PM
2-
MA
2=
PM
2-1；
同理，
PC
•
PD
=
PN
2-1，P在橢圓上，所以|
PM
|+|
PN
|=4；
∴
PA
•
PB
+
PC
•
PD
=
PM
2+
PN
2-2=(|
PM
|+|
PN|
)2-2|
PM
||
PN
|-2=14-2|
PM|
|
PN|
≥14-2(
|
PM|
+|
PN|
2
)2=6；
∴
PA
•
PB
+
PC
•
PD
的最小值為6．
點(diǎn)評(píng)：考查向量的加法運(yùn)算，相反向量，數(shù)量積的運(yùn)算，以及橢圓的定義，基本不等式的運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

復(fù)數(shù)z=
1-i
i
的實(shí)部是（　�。�
A、-2B、-1C、1D、2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)M（2，1），N（-2，1），直線MP，NP相交于點(diǎn)P，且直線MP的斜率減直線NP的斜率的差為1．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E．
（Ⅰ） 求E的方程；
（Ⅱ） 已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)C是曲線E上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若以A為圓心，線段AC為半徑的圓交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)B，試判斷直線BC與曲線E的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC+
1
2
c=b．
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為85，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，ABCD為空間四邊形，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、H分別在CD、AD上，且DH=
1
3
AD，DG=
1
3
CD，求證：直線EH、FG必相交于一點(diǎn)，且這個(gè)交點(diǎn)在直線BD上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某客運(yùn)公司用A，B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次．A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不少于900人運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營(yíng)運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)）與成績(jī)（單位：分）近似線性相關(guān)關(guān)系，對(duì)某小組學(xué)生每周用于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時(shí)間x與數(shù)學(xué)成績(jī)y進(jìn)行數(shù)據(jù)收集如表
 x 15 16 18 19 22
 y 102 98 115 115 120
由表中樣本數(shù)據(jù)求的回歸方程為
y
=bx+
a
，且直線l：x+18y=100，則點(diǎn)（
a
，
b
）在直線l的．
A、右下方B、右上方
C、左下方D、左上方

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

曲線y=
x
x-2
在點(diǎn)（1，-1）處的切線與軸x的交點(diǎn)的坐標(biāo)為
 
．

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