Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acosC+

1

2

c=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)整理，即可得到∠A；
（Ⅱ）運(yùn)用正弦定理，可得l=a+b+c=2+

4 3

3

（sinB+sinC），再由C=

2π

3

-B，運(yùn)用兩角差的正弦公式，化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由正弦定理可得，sinAcosC+

1

2

sinC=sinB，
則sinAcosC+

1

2

sinC=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
由于sinC≠0，則cosA=

1

2

，
由0＜A＜π，可得A=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

sin π 3

=

4 3

3

．
則b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
l=a+b+c=2+

4 3

3

（sinB+sinC）=2+

4 3

3

（sinB+sin（

2π

3

-B））
=2+

4 3

3

（

3

2

cosB+

3

2

sinB）=2+4（

1

2

cosB+

3

2

sinB）=2+4sin（B+

π

6

），
由于0＜B＜

2π

3

，則

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，
則有4＜l≤6．
即為△ABC的周長(zhǎng)l的取值范圍是（4，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．