Question

17．若命題：“存在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，使tan²x-atanx-2＜0成立”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]．

Answer 1

分析 令t=tanx，$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，求得t的范圍，由題意可得對任意$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，使tan²x-atanx-2≥0成立，即有t²-at-2≥0，1≤t≤$\sqrt{3}$，即為a≤$\frac{{t}^{2}-2}{t}$=t-$\frac{2}{t}$，判斷右邊函數(shù)的單調(diào)性，求得最小值即可得到所求a的范圍．

解答 解：令t=tanx，$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，
可得1≤t≤$\sqrt{3}$，
命題：“存在$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，使tan²x-atanx-2＜0成立”為假命題，
則對任意$x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{3}]$，使tan²x-atanx-2≥0成立，
即有t²-at-2≥0，1≤t≤$\sqrt{3}$，
即為a≤$\frac{{t}^{2}-2}{t}$=t-$\frac{2}{t}$，
由f（t）=t-$\frac{2}{t}$，f′（t）=1+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
可得f（t）在[1，$\sqrt{3}$]遞增，
即有f（1）取得最小值-1，
則a≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用，注意運用命題的否定，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，考查換元法和參數(shù)分離，注意運用單調(diào)性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．