Question

8．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．

Answer 1

分析 ①當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）＞0恒成立，②當(dāng)m＞0時(shí)，由6^x-m=0討論，再由x²-3mx+2m²=（x-m）（x-2m）討論，從而確定方程的根的個(gè)數(shù)．

解答 解：①當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）沒有零點(diǎn)；
②當(dāng)m＞0時(shí)，6^x-m=0，
解得，x=log₆m，
又∵x＜1；
∴當(dāng)m∈（0，6）時(shí)，log₆m＜1，
故6^x-m=0有解x=log₆m；
當(dāng)m∈[6，+∞）時(shí)，log₆m≥1，
故6^x-m=0在（-∞，1）上無解；
∵x²-3mx+2m²=（x-m）（x-2m），
∴當(dāng)m∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上無解；
當(dāng)m∈[$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上有且僅有一個(gè)解；
當(dāng)m∈[1，+∞）時(shí)，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上有且僅有兩個(gè)解；
綜上所述，
當(dāng)m∈[$\frac{1}{2}$，1）或m∈[6，+∞）時(shí)，
函數(shù)f（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2個(gè)零點(diǎn)，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．