Question

【題目】若數(shù)列各項均非零，且存在常數(shù)，對任意，恒成立，則成這樣的數(shù)列為“類等比數(shù)列”，例如等比數(shù)列一定為類等比數(shù)列，則：

（1）各項均非零的等差數(shù)列是否可能為“類等比數(shù)列”？若可能，請舉例；若不能，說明理由；

（2）已知數(shù)列為“類等比數(shù)列”，且，是否存在常數(shù)，使得恒成立？

（3）已知數(shù)列為“類等比數(shù)列”，且，求.

Answer 1

【答案】（1）可能,如；（2）存在,證明見解析；（3）

【解析】

（1）設(shè)出符合條件的等差數(shù)列,如,根據(jù)題意進(jìn)行證明即可檢驗；

（2）對,作差整理后可得,進(jìn)而得到,即將條件中的數(shù)值代入即可求解；

（3）先根據(jù)條件解得的通項公式,再求,可得到為周期函數(shù),進(jìn)而得到結(jié)果

（1）可能；設(shè)為各項均非0的等差數(shù)列,可設(shè),

由得,為常數(shù),

可得到各項均非零的等差數(shù)列為“類等比數(shù)列”

（2）存在常數(shù),使恒成立；

證明：,

,

,對等式兩邊同時除以,得

,

,

存在常數(shù),使恒成立

（3）由題,,,即

由（2）可知

、均為公比為的等比數(shù)列,

,

,,,,

是周期為4的數(shù)列,