Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，A、B是拋物線C上異于坐標原點O的不同兩點，拋物線C在點A、B處的切線分別為l₁、l₂，且l₁⊥l₂，l₁與l₂相交于點D．
（1）求點D的縱坐標；
（2）證明：A、B、F三點共線；
（3）假設點D的坐標為(

3

2

，-1)，問是否存在經過A、B兩點且與l₁、l₂都相切的圓，若存在，求出該圓的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），利用導數求出切線的斜率，進而求出直線l₁、l₂的方程，通過解它們聯(lián)立的方程組即可求得求點D的縱坐標；
（2）欲證明：A、B、F三點共線，只須證明它們的斜率k_AF=k_BF．相等即可，也就是要證明k_AF-k_BF=0即可，利用斜率公式結合點在拋物線上可證得；
（3）對于存在性問題，可假設存在，即假設存在符合題意的圓，設該圓的圓心為M，再分別求出點A、B的坐標，最后求出|AD|和|BD|，看是否與題設矛盾，若不矛盾，則存在，否則不存在．

解答：（1）解：設點A、B的坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∵l₁、l₂分別是拋物線C在點A、B處的切線，
∴直線l₁的斜率k1=y′|_x=x1=

x1

p

，直線l₂的斜率k2=y′|_x=x2=

x2

p

．
∵l₁⊥l₂，∴k₁k₂=-1，得x₁x₂=-p²．①（2分）
∵A、B是拋物線C上的點，
∴y1=

x 2 1

2p

，y2=

x 2 2

2p

.
∴直線l₁的方程為y-

x 2 1

2p

=

x1

p

(x-x1)，直線l₂的方程為y-

x 2 2

2p

=

x2

p

(x-x2)．
由

y- x 2 1 2p = x1 p (x-x1) y- x 2 2 2p = x2 p (x-x2)

解得

x= x1+x2 2 y=- p 2

∴點D的縱坐標為-

p

2

．（4分）

（2）證：∵F為拋物線C的焦點，∴F(0，

p

2

)．
∴直線AF的斜率為kAF=

y1- p 2

x1-0

=

x 2 1 2p - p 2

x1

=

x 2 1 -p2

2px1

，
直線BF的斜率為kBF=

y2- p 2

x2-0

=

x 2 2 2p - p 2

x2

=

x 2 2 -p2

2px2

．
∵kAF-kBF=

x 2 1 -p2

2px1

-

x 2 2 -p2

2px2

（6分）=

x2( x 2 1 -p2)-x1( x 2 2 -p2)

2px1x2

=

x1x2(x1-x2)+p2(x1-x2)

2p x   1 x2

=

-p2(x1-x2)+p2(x1-x2)

2px1x2

=0．
∴k_AF=k_BF．
∴A、B、F三點共線．（8分）
（3）解：不存在．證明如下：
假設存在符合題意的圓，設該圓的圓心為M，
依題意得MA⊥AD，MB⊥BD，且|MA|=|MB|，
由l₁⊥l₂，得AD⊥BD．
∴四邊形MADB是正方形．
∴|AD|=|BD|．（10分）
∵點D的坐標為(

3

2

，-1)，
∴-

p

2

=-1，得p=2．
把點D(

3

2

，-1)的坐標代入直線l₁，得-1-

x 2 1

4

=

x1

2

×(

3

2

-x1)
解得x₁=4或x₁=-1，
∴點A的坐標為（4，4）或(-1，

1

4

)．
同理可求得點B的坐標為（4，4）或(-1，

1

4

)．
由于A、B是拋物線C上的不同兩點，不妨令A(-1，

1

4

)，B（4，4）．
∴|AD|=

(-1- 3 2 )2+( 1 4 +1)2

=

125 16

，|BD|=

(4- 3 2 )2+(4+1)2

=

125 4

．（13分）
∴|AD|≠|BD|，這與|AD|=|BD|矛盾．
∴經過A、B兩點且與l₁、l₂都相切的圓不存在．（14分）

點評：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等   突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高