Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，AB=2，AA₁=AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是棱AA₁、C₁D₁與BC的中點(diǎn)，那么四面體B₁-EFG的體積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)B₁到平面EFG的距離，△EFG的面積，即可求出四面體B₁-EFG的體積．

解答： 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AB=2，AA₁=AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是各自所在棱的中點(diǎn)，
∴E（1，0，

1

2

），G（

1

2

，2，0），F(xiàn)（0，1，1），
設(shè)平面EFG的法向量

n

=（x，y，z），
∵

EF

=（-1，1，

1

2

），

EG

=（-

1

2

，2，-

1

2

），
∴

-x+y+ 1 2 z=0 - 1 2 x+2y- 1 2 z=0

，取x=2，得y=1，z=2，∴

n

=（2，1，2），
∵

EB1

=（0，2，

1

2

），
∴點(diǎn)B₁到平面EFG的距離d=

| n • EB1|

| n |

=1．
∵EF=

1+1+ 1 4

=

3

2

，EG=

1 4 +4+ 1 4

=

3 2

2

，F(xiàn)G=

1 4 +1+1

=

3

2

，
∴S_△EFG=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

9

8

，
∴四面體B₁-EFG的體積是

1

3

×

9

8

×1=

3

8

．
故答案為：

3

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查四面體B₁-EFG的體積，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．