Question

若f（x）=2+log₂x，x∈[1，4]，則y=（f（x））²+f（x²）的最大值為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì),對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：換元轉(zhuǎn)化y=t²+6t+4，t∈[0，2]根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求解．

解答： 解：∵f（x）=log₂x+2，x∈[1，4]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（log₂x+2）²+2log₂x=（log₂x）²+6log₂x+4
設(shè)t=log₂x則t∈[0，2]
∴y=t²+6t+4=（t+3）²-5，
∴y=t²+6t+4在[0，2]為增函數(shù)，
當(dāng)t=2時(shí)，y有最大值，
∴y_max=4+12+4=20
故答案為：20

點(diǎn)評(píng)：本題考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，換元法求解最大值問(wèn)題，屬于中檔題．