Question

4．已知下列各式：①f（|x|+1）=x²+1； ②$f（\frac{1}{{{x^2}+1}}）=x$；③f（x²-2x）=|x|； ④f（|x|）=3^x+3^-x．其中存在函數f（x）對任意的x∈R都成立的是（　�。�

• A． ①④
• B． ③④
• C． ①②
• D． ①③

Answer 1

分析 由t=|x|+1（t≥1），可得f（t）=（t-1）²+1，即可判斷①；
由令t=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（0＜t≤1），x=±$\sqrt{\frac{1}{t}-1}$，結合函數的定義，即可判斷②；
令t=x²-2x，若t＜-1時，x∈∅；t≥-1，可得x=1±$\sqrt{1+t}$（t≥-1），y=f（t）不能構成函數，即可判斷③；
討論x≥0，x＜0，可得函數式，即可判斷④．

解答 解：①f（|x|+1）=x²+1，由t=|x|+1（t≥1），可得|x|=t-1，則f（t）=（t-1）²+1，
即有f（x）=（x-1）²+1對x∈R均成立；
②$f（\frac{1}{{{x^2}+1}}）=x$，令t=$\frac{1}{{x}^{2}+1}$（0＜t≤1），x=±$\sqrt{\frac{1}{t}-1}$，
對0＜t≤1，y=f（t）不能構成函數，故不成立；
③f（x²-2x）=|x|，令t=x²-2x，若t＜-1時，x∈∅；
t≥-1，可得x=1±$\sqrt{1+t}$（t≥-1），y=f（t）不能構成函數；
④f（|x|）=3^x+3^-x．當x≥0時，f（x）=3^x+3^-x；
當x＜0時，f（-x）=3^x+3^-x；將x換為-x可得f（x）=3^x+3^-x；故恒成立．
綜上可得①④符合條件．
故選：A．

點評 本題考查函數的恒成立問題，注意運用代換法和函數的定義，考查推理和判斷能力，屬于基礎題．