Question

（2013•鹽城三模）設點P是曲線y=x²上的一個動點，曲線y=x²在點P處的切線為l，過點P且與直線l垂直的直線與曲線y=x²的另一交點為Q，則PQ的最小值為

3 3

2

．

Answer 1

分析：設出P點坐標，求導得直線l的斜率，則過點P且與直線l垂直的直線方程可求，和拋物線聯(lián)立后求出Q點的坐標，利用兩點式寫出PQ的距離，先利用換元法降冪，然后利用導數(shù)求最值．

解答：解：設P(x0，x02)，由y=x²得y′|x=x0=2x0，
所以過點P且與直線l垂直的直線方程為y-x02=-

1

2x0

(x-x0)．
聯(lián)立y=x²得：2x0x2+x-2x03-x0=0．
設Q（x₁，y₁），則x0+x1=-

1

2x0

，所以x1=-

1

2x0

-x0，
y1=x12=(-

1

2x0

-x0)2=

1

4x02

+x02+1．
所以|PQ|=

(x1-x0)2+(y1-y0)2

=

(- 1 2x0 -2x0)2+( 1 4x02 +1)2

=

1 4x02 +2+4x02+ 1 16x04 + 2 4x02 +1

4x02+ 1 16x04 + 3 4x02 +3

．
令t=4x02＞0．
g（t）=t+

1

t2

+

3

t

+3．
則g′(t)=1-

2

t3

-

3

t2

=

(t+1)2(t-2)

t3

，
當t∈（0，2）時，g^′（t）＜0，g（t）為減函數(shù)，
當t∈（2，+∞）時，g^′（t）＞0，g（t）為增函數(shù)，
所以g(t)min=g(2)=

27

4

．
所以PQ的最小值為

3 3

2

．
故答案為

3 3

2

．

點評：本題考查了利用導數(shù)求曲線上某點的切線方程，考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，解答此題的關鍵是把高次冪的函數(shù)式通過換元降冪，是中檔題．