Question

13．對于函數(shù)f（x）=a+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R），
（1）用定義證明：f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）是奇函數(shù)，若存在請求出a的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析 （1）按照：取值、作差變形、判斷符號下結(jié)論的步驟進行；
（2）先利用f（0）=0求出a的值，然后驗證即可；

解答 解：（1）f（x）=a+$\frac{2}{{{2^x}+1}}$．
任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=a+$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-a-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
因為y=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，
所以${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}$＞0，所以上式＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)．
（2）因為x∈R，所以f（0）=0，解得a=-1，
經(jīng)驗證a=-1時，f（-x）=-f（x）恒成立，
故a=-1即為所求．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性，難度不大．