Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow$=（2，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，求$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$的值；
（2）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求sinθ+2cosθ的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量垂直列出方程解出tanθ，則$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{tanθ-1}{tanθ+1}$；
（2）對|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2兩邊平方，解出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系得出sinθ，cosθ的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，∴2cosθ-sinθ=0，即tanθ=2．
∴$\frac{sinθ-cosθ}{sinθ+cosθ}$=$\frac{tanθ-1}{tanθ+1}$=$\frac{1}{3}$．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，∴${\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}=4$，
∵${\overrightarrow{a}}^{2}=co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ=1$，${\overrightarrow}^{2}={2}^{2}+（-1）^{2}=5$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1．∴2cosθ-sinθ=1，
兩邊平方得4cos²θ-4sinθcosθ+sin²θ=1，
∵cos²θ+sin²θ=1，∴3cos²θ-4sinθcosθ=0，
∴tanθ=$\frac{3}{4}$．∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sinθ=$\frac{3}{5}$，cosθ=$\frac{4}{5}$．
∴sinθ+2cosθ=$\frac{3}{5}+2×\frac{4}{5}$=$\frac{11}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角函數(shù)的恒等變換與化簡求值，屬于中檔題．