已知過拋物線x2=4y的焦點F的直線l與拋物線相交于A、B兩點.
(1)設(shè)拋物線在A、B處的切線的交點為M,若點M的橫坐標(biāo)為2,求△ABM的外接圓方程.
(2)若直線l與橢圓
3y2
4
+
3x2
2
=1的交點為C,D,問是否存在這樣的直線l使|AF|•|CF|=|BF|•|DF|,若存在,求出l的方程;若不存在,說明理由.
考點:直線與圓錐曲線的綜合問題
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析:(1)設(shè)A(2t1,
t
2
1
),B(2t2,
t
2
2
),kAB=
t
2
1
-
t
2
2
2t1-2t2
=
t1+t2
2
,直線AB:y-
t
2
1
=
t1+t2
2
(x-2t1)
,從而得到過A,B,M的圓是以AB為直徑的圓,由此結(jié)合已知條件能求出圓的方程.
(2)設(shè)
|AF|
|BF|
=
|DF|
|CF|
=λ,則
AF
FB
,
DF
FC
,由此利用韋達(dá)定理,結(jié)合已知條件能求出滿足條件的直線方程.
解答: 解:(1)設(shè)A(2t1
t
2
1
),B(2t2,
t
2
2
),kAB=
t
2
1
-
t
2
2
2t1-2t2
=
t1+t2
2

故AB:y-
t
2
1
=
t1+t2
2
(x-2t1)

過(0,1)得-t1t2=1,又由y=
1
4
x2,得y′=
1
2
x

kMAkMB=
1
2
×(2t1
1
2
×(2t2)=t1t2=-1

∴過A,B,M的圓是以AB為直徑的圓
MA:y-
t
2
1
=t1(x-2t1),MB:y-
t
2
2
=t2(x-2t2)

t
2
1
-t1x+y=0,且
t
2
2
-t2x+y=0

聯(lián)立兩式解得xM=t1+t2=2,yM=t1t2=-1
故AB的中點G坐標(biāo)為(2,3),|GM|=4
所求圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=16.…(6分)
(2)設(shè)
|AF|
|BF|
=
|DF|
|CF|
=λ,則
AF
FB
DF
FC

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
-x1x2
-x4x3
x1=-λx2
x4=-λx3

y=kx+1
x2=4y
x2-4kx-4=0
,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4
x1=-λx2,代入得
(λ-1)2
λ
=4k2
,…①
y=kx+1
3y2
4
+
3x2
2
=1
=(3k2+6)x2+6kx-1=0∴x3+x4=-
2k
k2+2
x3x4=-
1
3k2+6

x4=-λx3,代入得
(λ-1)2
λ
=
12k2
k2+2
,
由①②得k=0或k2=1,k=±1,
經(jīng)檢驗k=±1時,A、B、C、D四點各異,且滿足要求
故直線l存在,且方程為y=±x+1.…(13分)
點評:本題考查三角形外接圓方程的求法,考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法,解題時要注意函數(shù)與方程思想的合理運用,
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已知向量
a
,
b
滿足
a
b
,|
a
|=2,|
b
|=1,則|
a
-2
b
|=(  )
A、0
B、4
C、8
D、2
2

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已知圓O:x2+y2=1和圓C:x2+y2-6x+4y+11=0,動點P到這兩圓的切線長相等,求動點P的軌跡方程.

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若函數(shù)f(x)=x2-2ax+2a在區(qū)間(-∞,4)上為減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、a≥4B、a≤4
C、a≤5D、a=4

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如圖,DC垂直平面ABC,∠BAC=90°,AC=
1
2
BC=kCD,點E在BD上,且BE=3ED.
(1)求證:AE⊥BC;
(2)若二面角B-AE-C的大小為120°,求k的值.

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設(shè)經(jīng)過點(-4,0)的直線l與拋物線y=
1
2
x2的兩個交點為A,B,經(jīng)過A,B兩點分別作拋物線的切線,若兩切線互相垂直,則直線l的斜率為多少?

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已知O(0,0),A(5,4),B(7,10),若
OP
=
OA
+λ
OB
(λ∈R),問當(dāng)λ為何值時,
(1)點P在第一,三象限的角平分線上?
(2)P在第四象限內(nèi)?

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空間四邊形ABCD中,對角線AC=10,BD=6,M、N分別是AB、CD的中點,且MN=7,則異面直線AC與BD所成的角為
 

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已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,其中a1=
1
2
,2an=an-1(n≥2);等差數(shù)列{bn},其中b3=2,b5=6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)在數(shù)列{bn}中是否存在一項bm(m為正整數(shù)),使得b3,b5,bm成等比數(shù)列,若存在求m的值;若不存在,請說明理由.
(3)若cn=(bn+3)an,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn

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