Question

設(shè)經(jīng)過點(diǎn)（-4，0）的直線l與拋物線y=

1

2

x²的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，經(jīng)過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，若兩切線互相垂直，則直線l的斜率為多少？

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對拋物線y=

1

2

x2，y′=x，l的方程是y=k（x+4），代入y=

1

2

x2得：x²-2kx-8k=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理和直線垂直的性質(zhì)能求出直線的斜率．

解答： 解：對拋物線y=

1

2

x2，y′=x，
l的方程是y=k（x+4），代入y=

1

2

x2得：x²-2kx-8k=0，
設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)是A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若PA與PB垂直，
則x₁•x₂=-8k=-1，
∴k=

1

8

，
即直線l的斜率為

1

8

．

點(diǎn)評：本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意拋物線性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．