已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）．設(shè)f（x）=
g(x)
x
．若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為
2
，求m的值．
分析：根據(jù)函數(shù)的形式及函數(shù)的極小值，設(shè)出g（x），求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是函數(shù)的斜率，列出方程，求出a的值；寫出函數(shù)f（x），設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式表示出|PQ|2，利用基本不等式求出最小值，通過對m的符號的討論，求出m的值．
解答：解：依題可設(shè)g（x）=a（x+1）2+m-1（a≠0），
則g′（x）=2ax+2a；
又g′（x）的圖象與直線y=2x平行   
∴2a=2     
解得a=1
∴g（x）=x2+2x+m，
∵f(x)=
g(x)
x
=x+
m
x
+2，
設(shè)P（x0，y0），則|PQ|2=x02+(y0-2)2=2x02+
m2
x02
+2m
≥2
2m2
+2m=2
2
|m|+2m
當(dāng)且僅當(dāng)2x02=
m2
x02
時(shí)，|PQ|2取得最小值，即|PQ|取得最小值
2

當(dāng)m＞0時(shí)，
(2
2
+2)m
=
2
   解得m=
2
-1
當(dāng)m＜0時(shí)，
(-2
2
+2)m
=
2
 解得m=-
2
-1
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率；利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意需滿足的條件是：一正、二定、三相等．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）．設(shè)f(x)=
g(x)
x
．
（1）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為
2
，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•惠州模擬）已知二次函數(shù)y=g（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）、A（m，0）與點(diǎn)P（m+1，m+1），設(shè)函數(shù)f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b處取到極值，其中m＞n＞0，b＜a．
（1）求g（x）的二次項(xiàng)系數(shù)k的值；
（2）比較a，b，m，n的大�。ㄒ蟀磸男〉酱笈帕校�；
（3）若m+n≤2，且過原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f（x）均相切，求y=f（x）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為m-1（m≠0），且y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，設(shè)f（x）=
g(x)
x
．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，-2）的距離的最小值為
2
，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)y=g（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，（1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為m-1（m≠0），且y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，設(shè)f(x)=
g(x)
x
．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，-2）的距離的最小值為
2
，求m的值；
（Ⅱ）若m=1，方程f（2x）-k•2x=0在x∈[-1，1]上有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍．

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