已知二次函數(shù)y=g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,(1,+∞)上單調(diào)遞增,最小值為m-1(m≠0),且y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行,設(shè)f(x)=
g(x)
x

(Ⅰ)若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,-2)的距離的最小值為
2
,求m的值;
(Ⅱ)若m=1,方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0
有三個不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的范圍.
分析:(Ⅰ)分析出拋物線y=g(x)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,m-1),可設(shè)g(x)=a(x-1)2+m-1(a≠0),求導(dǎo)g'(x)=2ax-2a;a=1.從而f(x)=
g(x)
x
=x+
m
x
-2
,利用兩點(diǎn)距離公式建立關(guān)于x的函數(shù),求出最小值的表達(dá)式,即可解出m值.
(Ⅱ)經(jīng)過計(jì)算化簡,原方程化為|2x-1|2-(2+3k)|2x-1|+(1+2k)=0,看作關(guān)于|2x-1|的二次方程.再利用換元法、數(shù)形結(jié)合的思想求實(shí)數(shù)k的范圍.
解答:解:(Ⅰ)依題可設(shè)g(x)=a(x-1)2+m-1(a≠0),則g'(x)=2a(x-1)=2ax-2a;
又g(x)的圖象與直線y=2x平行∴2a=2      a=1   
∴g(x)=(x-1)2+m-1=x2-2x+m,f(x)=
g(x)
x
=x+
m
x
-2
,…(3分)
設(shè)P(x0,y0),則|PQ|2=x02+(y0+2)2=x02+(x0+
m
x0
)2

=2
x
2
0
+
m2
x
2
0
+2m≥2
2m2
+2m=2
2
|m|+2m

當(dāng)且僅當(dāng)2
x
2
0
=
m2
x
2
0
時,|PQ|2取得最小值,即|PQ|取得最小值
2

當(dāng)m>0時,
(2
2
+2)m
=
2
  解得m=
2
-1

當(dāng)m<0時,
(-2
2
+2)m
=
2
   解得m=-
2
-1
            …(7分)
(Ⅱ)m=1,方程f(|2x-1|)+k(
2
|2x-1|
-3)=0
化為|2x-1|+
1+2k
|2x-1|
-(2+3k)=0
,
|2x-1|2-(2+3k)|2x-1|+(1+2k)=0,|2x-1|≠0
令|2x-1|=t,則方程化為t2-(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0)
∵方程|2x-1|+
1+2k
|2x-1|
-(2+3k)=0
有三個不同的實(shí)數(shù)解,
∴由t=|2x-1|的圖象知,t2-(2+3k)t+(1+2k)=0有兩個根t1、t2
且0<t1<1<t2或 0<t1<1,t2=1…(11分)
記?(t)=t2-(2+3k)t+(1+2k)
?(0)=1+2k>0
?(1)=-k<0
或  
?(0)=1+2k>0
?(1)=-k=0
0<
2+3k
2
<1
∴k>0…(15分)
點(diǎn)評:本題考查二次函數(shù)圖象、性質(zhì),函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、數(shù)形結(jié)合的思想方法,以及換元、計(jì)算能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行,且y=g(x)在x=-1處取得極小值m-1(m≠0).設(shè)f(x)=
g(x)
x

(1)若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為
2
,求m的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)y=f(x)-kx存在零點(diǎn),并求出零點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行,且y=g(x)在x=-1處取得極小值m-1(m≠0).設(shè)f(x)=
g(x)
x
.若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為
2
,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•惠州模擬)已知二次函數(shù)y=g(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)、A(m,0)與點(diǎn)P(m+1,m+1),設(shè)函數(shù)f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b處取到極值,其中m>n>0,b<a.
(1)求g(x)的二次項(xiàng)系數(shù)k的值;
(2)比較a,b,m,n的大。ㄒ蟀磸男〉酱笈帕校;
(3)若m+n≤2,且過原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線y=f(x)均相切,求y=f(x).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)y=g(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減,(1,+∞)上單調(diào)遞增,最小值為m-1(m≠0),且y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行,設(shè)f(x)=
g(x)
x

(Ⅰ)若曲線y=f(x)上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q(0,-2)的距離的最小值為
2
,求m的值;
(Ⅱ)若m=1,方程f(2x)-k•2x=0在x∈[-1,1]上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的范圍.

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