Question

已知二次函數(shù)y=g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行，且y=g（x）在x=-1處取得極小值m-1（m≠0）．設(shè)f(x)=

g(x)

x

．
（1）若曲線y=f（x）上的點(diǎn)P到點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為

2

，求m的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式設(shè)出函數(shù)g（x）的解析式，然后對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)的圖象與直線y=2x平行求出a的值，進(jìn)而可確定函數(shù)g（x）、f（x）的解析式，然后設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出|PQ|，再由基本不等式表示其最小值即可．
（2）先根據(jù)（1）的內(nèi)容得到函數(shù)y=f（x）-kx的解析式，即（1-k）x²+2x+m=0，然后先對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)等于0進(jìn)行討論，再當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0時(shí)，即為二次方程時(shí)根據(jù)方程的判別式進(jìn)行討論即可得到答案．

解答：解：（1）依題可設(shè)g（x）=a（x+1）²+m-1（a≠0），則g'（x）=2a（x+1）=2ax+2a；
又g'（x）的圖象與直線y=2x平行∴2a=2∴a=1
∴g（x）=（x+1）²+m-1=x²+2x+m，f(x)=

g(x)

x

=x+

m

x

+2，
設(shè)P（x_o，y_o），則|PQ|2=

x

2 0

+(y0-2)2=

x

2 0

+(x0+

m

x0

)2=2

x

2 0

+

m2

x 2 0

+2m≥2

2m2

+2m=2

2

|m|+2m
當(dāng)且僅當(dāng)2

x

2 0

=

m2

x 2 0

時(shí)，|PQ|²取得最小值，即|PQ|取得最小值

2

當(dāng)m＞0時(shí)，

(2 2 +2)m

=

2

解得m=

2

-1
當(dāng)m＜0時(shí)，

(-2 2 +2)m

=

2

解得m=-

2

-1

（2）由y=f(x)-kx=(1-k)x+

m

x

+2=0（x≠0），得（1-k）x²+2x+m=0（*）
當(dāng)k=1時(shí)，方程（*）有一解x=-

m

2

，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)x=-

m

2

；
當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）有二解?△=4-4m（1-k）＞0，
若m＞0，k＞1-

1

m

，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)x=

-2± 4-4m(1-k)

2(1-k)

，即x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
若m＜0，k＜1-

1

m

，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)x=

-2± 4-4m(1-k)

2(1-k)

，即x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
當(dāng)k≠1時(shí)，方程（*）有一解?△=4-4m（1-k）=0，k=1-

1

m

，
函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)x=

1

k-1

=-m
綜上，當(dāng)k=1時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)x=-

m

2

；
當(dāng)k＞1-

1

m

（m＞0），或k＜1-

1

m

（m＜0）時(shí)，
函數(shù)y=f（x）-kx有兩個(gè)零點(diǎn)x=

1± 1-m(1-k)

k-1

；
當(dāng)k=1-

1

m

時(shí)，函數(shù)y=f（x）-kx有一零點(diǎn)x=

1

k-1

=-m．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．主要考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和學(xué)生的計(jì)算能力．