Question

18．已知正項數(shù)列{a_n}中，a₂=6，且$\frac{1}{{{a_1}+1}}$，$\frac{1}{{{a_2}+2}}$，$\frac{1}{{{a_3}+3}}$成等差數(shù)列，則a₁a₃的最小值為$19+8\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 令x=a₁+1，y=a₃+3，可得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$，即xy=4（x+y），代入利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：令x=a₁+1，y=a₃+3，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$，即xy=4（x+y），
∴a₁a₃=（x-1）（y-3）=xy-3x-y+3=x+3y+3，
又$x+3y=4（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）（x+3y）=4（4+\frac{3y}{x}+\frac{x}{y}）≥16+8\sqrt{3}$，
∴${a_1}{a_3}≥19+8\sqrt{3}$．（當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3y}{x}=\frac{x}{y}$時，取“=”）．
故答案為：$19+8\sqrt{3}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．