Question

14．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB，AB⊥BC，且N是A₁B的中點．
（1）求證：直線AN⊥平面A₁BC；
（2）若M在線段BC₁上，且MN∥平面A₁B₁C₁，求證：M是BC₁的中點．

Answer 1

分析 （1）證明AN⊥BC，AN⊥A₁B，即可證明直線AN⊥平面A₁BC；
（2）證明MN∥A₁C₁，利用 N是A₁B的中點，可得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC，
∵AB⊥BC，AA₁∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁AB，…（3分）
∵AN?平面A₁AB，
∴AN⊥BC，
∵AA₁=AB，且 N是A₁B的中點，
∴AN⊥A₁B，
∵A₁B∩BC=B，
∴直線AN⊥平面A₁BC…（7分）
（2）證明：∵M(jìn)N∥平面A₁B₁C₁，
∴MN∥A₁C₁，
∵N是A₁B的中點，
∴M是BC₁的中點…（14分）

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面平行的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．