Question

12．在平面直角坐標系xOy中．己知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{2π}{3}}\\{y=4+tsin\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ=4．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標系方程；
（2）直線l與曲線C相交于A、B兩點，求∠AOB的值．

Answer 1

分析 （1）直線l消去參數(shù)t，能求出直線l的普通方程，曲線C的極坐標方程是ρ²=16，由此能求出曲線C的直角坐標系方程．
（2）求出圓心C（0，0）到直線l：$\sqrt{3}x$+y-4=0的距離為2，由此能求出∠AOB的值．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{2π}{3}}\\{y=4+tsin\frac{2π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程為$\sqrt{3}x+y-4=0$．
∵曲線C的極坐標方程是ρ=4，∴ρ²=16，
∴曲線C的直角坐標系方程為x²+y²=16．
（2）⊙C的圓心C（0，0）到直線l：$\sqrt{3}x$+y-4=0的距離：
d=$\frac{4}{\sqrt{3+1}}$=2，
∴cos$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∵0$＜\frac{1}{2}∠AOB＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{1}{2}∠AOB=\frac{π}{3}$，
∴$∠AOB=\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查直線的普通方程和曲線的直角坐標系方程的求法，考查角的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意極坐標和直角坐標互化公式的合理運用．