Question

2．已知二次函數(shù)y=f（x），不等式f（x）≤0的解集為N={x|-1≤x≤3}，且關(guān)于x的方程f（x）+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
（Ⅰ）若M={x|1-a＜x＜a+1，a∈R}，且M⊆N，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)M⊆N可討論M是否為∅：分別求出M=∅和M≠∅時(shí)a的取值范圍，再求并集便可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)條件便知一元二次方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)根為-1，3，從而可以設(shè)f（x）=b（x+1）（x-3），帶入f（x）+4=0便可得到關(guān)于x的一元二次方程，該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，從而△=0，這樣即可求出b的值，從而得出f（x）的解析式．

解答 解：（Ⅰ）M⊆N；
（1）若M=∅，則：1-a≥a+1；
∴a≤0；
（2）若M≠∅，則$\left\{\begin{array}{l}{1-a＜a+1}\\{1-a≥-1}\\{a+1≤3}\end{array}\right.$；
∴0＜a≤2；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2]；
（Ⅱ）f（x）≤0的解集為N={x|-1≤x≤3}；
∴f（x）=0的兩實(shí)根為-1，3；
∴設(shè)f（x）=b（x+1）（x-3）=bx²-2bx-3b；
∴bx²-2bx-3b+4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
∴△=4b²-4b（4-3b）=0，b≠0；
∴解得b=1；
∴f（x）=x²-2x-3．

點(diǎn)評(píng) 考查子集的定義，描述法表示集合，一元二次不等式的解集和對(duì)應(yīng)的一元二次方程實(shí)數(shù)根的關(guān)系，待定系數(shù)求函數(shù)解析式的方法，以及一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)根時(shí)，判別式△的取值情況．