Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-x²-3x，直線l：9x+2y+c=0．若當x∈[-2，2]時，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線l的下方，則c的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：分離參數(shù)，構造函數(shù)，求出函數(shù)再閉區(qū)間上的最值即可．

解答： 解：∵當x∈[-2，2]時，函數(shù)y=f（x）的圖象恒在直線l的下方，
即

1

3

x³-x²-3x＜-

9

2

x-

c

2

，在x∈[-2，2]時恒成立，
即c＜-

2

3

x³+2x²-3x，
令g（x）=-

2

3

x³+2x²-3x，
∴g'（x）=-2x²+4x-3，
∵g'（x）=-2x²+4x-3=-2（x-1）²-1＜0恒成立，
∴g（x）在∈[-2，2]上單調遞減，
故當x∈[-2，2]時，[g（x）]_min=g（2）=-

10

3

∴c＜-

10

3

，
故答案為：c＜-

10

3

，

點評：本題主要考查函數(shù)的求導運算、閉區(qū)間上的恒成立問題．閉區(qū)間上的恒成立問題一般都是轉化為求最值，即使參數(shù)大于最大值或小于最小值的問題．