Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，PA⊥圓O所在的平面，C是圓O上的點(diǎn)．

（1）求證：BC⊥平面PAC；
（2）若Q為PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，求證：QG∥平面PBC．

Answer 1

【答案】
（1）證明：AB是圓O的直徑，PA⊥圓所在的平面，可得PA⊥BC，

C是圓O上的點(diǎn)，由直徑對(duì)的圓周角等于90°，可得BC⊥AC．

再由AC∩PA=A，利用直線(xiàn)和平面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC

（2）解：若Q為PA的中點(diǎn)，G為△AOC的重心，連接OG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M，

連接QM，則由重心的性質(zhì)可得M為AC的中點(diǎn)．

故OM是△ABC的中位線(xiàn)，QM是△PAC的中位線(xiàn)，故有OM∥BC，QM∥PC．

而OM和QM是平面OQM內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，AC和BC是平面PBC內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)，故平面OQM∥平面PBC．

又QG平面OQM，∴QG∥平面PBC

【解析】（1）由PA⊥圓所在的平面，可得PA⊥BC，由直徑對(duì)的圓周角等于90°，可得BC⊥AC，根據(jù)直線(xiàn)和平面垂直的判定定理可得結(jié)論．（2）連接OG并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)M，則由重心的性質(zhì)可得M為AC的中點(diǎn)．利用三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)，證明OM∥BC，QM∥PC，可得平面OQM∥平面PBC，從而證明QG∥平面PBC
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線(xiàn)與平面平行的判定和直線(xiàn)與平面垂直的判定，掌握平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行；一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．