Question

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，則g（x）=f（x）+f（$\frac{π}{4}$+x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{11π}{24}$]，k∈Z．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象確定函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的最大值是$\sqrt{3}$，則A=$\sqrt{3}$，
函數(shù)的周期T=2×（$\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}$）=2×$\frac{π}{2}=π$=$\frac{2π}{ω}$，則ω=2，
則f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ），
函數(shù)關(guān)于$\frac{\frac{π}{3}+\frac{5π}{6}}{2}$=$\frac{7π}{12}$對(duì)稱，
則f（$\frac{7π}{12}$）=$\sqrt{3}$sin（2×$\frac{7π}{12}$+φ）=$\sqrt{3}$，
即sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=1，
則$\frac{7π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，即φ=2kπ-$\frac{2π}{3}$，
則f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+2kπ-$\frac{2π}{3}$）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$），
則f（$\frac{π}{4}$+x）=$\sqrt{3}$sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{2π}{3}$]=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
則g（x）=f（x）+f（$\frac{π}{4}$+x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{2π}{3}$）+$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）=2$\sqrt{3}$sin$\frac{2x-\frac{2π}{3}+2x-\frac{π}{6}}{2}$cos$\frac{2x-\frac{2π}{3}-2x+\frac{π}{6}}{2}$=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{5π}{12}$）cos（-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{6}$sin（2x-$\frac{5π}{12}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{5π}{12}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
則kπ-$\frac{π}{24}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{24}$，k∈Z，
即g（x）=f（x）+f（$\frac{π}{4}$+x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{11π}{24}$]，k∈Z，
故答案為：[kπ-$\frac{π}{24}$，kπ+$\frac{11π}{24}$]，k∈Z

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．