Question

19．若函數(shù)f（x）=lg（ax²）-lg（3-2x-x²）有零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到當(dāng)a＞0時，方程（a+1）x²+2x-3=0，在（-3，0）∪（0，1）上有解，再根據(jù)函數(shù)的零點定理即可求出．

解答 解：f（x）=lg（ax²）-lg（3-2x-x²）有零點，
則lg（ax²）=lg（3-2x-x²）有解，
則$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}＞0}\\{a{x}^{2}=3-2x-{x}^{2}}\\{3-2x-{x}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
即當(dāng)a＞0時，方程（a+1）x²+2x-3=0，在（-3，0）∪（0，1）上有解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=4+12（a+1）≥0}\\{f（-3）＞0}\\{f（1）＞0}\end{array}\right.$，
解得a＞0，
故a的取值范圍為（0，+∞）

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)零點的問題，屬于基礎(chǔ)題．