Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3，x≥0}\\{x•lo{g}_{2}|x|，x＜0}\end{array}\right.$，則f（f（-$\frac{1}{2}$））=$\frac{13}{4}$，若f（x）=ax-1有三個零點，則a的取值范圍是a＞4．

Answer 1

分析 利用分段函數(shù)的表達式，直接代入進行求解即可，利用函數(shù)與方程之間的關系，轉化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結合進行求解即可．

解答 解：由分段函數(shù)的表達式得f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$•log₂$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
則f（$\frac{1}{2}$）=（$\frac{1}{2}$）²+3=$\frac{13}{4}$，
若f（x）=ax-1有三個零點，
則f（x）與y=ax-1有三個交點，
當x＜0時，f（x）=xlog₂（-x），
則f′（x）=log₂（-x）+x$•\frac{1}{-xln2}$•（-1）
=log₂（-x）+$\frac{1}{ln2}$=log₂（-x）+log₂e=log₂（-ex），
由f′（x）＞0得-ex＞1，即x＜-$\frac{1}{e}$，此時函數(shù)單調遞增，
由f′（x）＜0得-ex＜1，即-$\frac{1}{e}$＜x＜0，此時函數(shù)單調遞增，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
若a≤0，則f（x）與直線y=ax-1只有一個交點，不滿足條件．
若a＞0，當x＜0時，直線y=ax-1與f（x）=xlog₂（-x）一定有一個交點，
當x≥0時，當直線和f（x）=x²+3相切時，
此時也有一個交點，此時兩個函數(shù)有2個交點，
由x²+3=ax-1，得x²-ax+4=0，則判別式△=a²-16=0，
得a＞4或a＜-4（舍），
當直線和f（x）=x²+3相交時，即a＞4，此時有2個交點，
加上當x＜0時的一個交點，兩個函數(shù)有3個交點，
此時滿足條件，
綜上a＞4．
故答案為：$\frac{13}{4}$，a＞4．

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷以及分段函數(shù)的求值問題，利用函數(shù)與方程的關系轉化為兩個函數(shù)的交點問題，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．