Question

4．已知AB過⊙O的圓心，E為圓外的一點，ED為⊙O的一條切線，且D為切點，EA為⊙O的一條割線，且交⊙O于C，sin∠AED=1
（1）求證：AC∥OD；
（2）若5AC-3AB=0，證明：AF=$\frac{8}{5}$FD．

Answer 1

分析 （1）利用圓的切線的性質(zhì)，即可證明AC∥OD；
（2）不妨設(shè)AC=3，AB=5，連接BC，則BC⊥AC，BC∥ED，求出ED，即可證明：AF=$\frac{8}{5}$FD．

解答 證明：（1）∵ED為⊙O的一條切線，且D為切點，
∴ED⊥OD，
∵sin∠AED=1，
∴ED⊥AE，
∴AC∥OD；
（2）不妨設(shè)AC=3，AB=5，連接BC，則BC⊥AC，BC∥ED，
∴四邊形ECGD為矩形，CG=ED=2，
由切割線定理可得，ED²=EC•EA，
∴2²=ED•（ED+3），
∴ED=1，
∴AE=4，
∵AC∥OD，
∴$\frac{AF}{FD}$=$\frac{AE}{OD}$=$\frac{8}{5}$，
∴AF=$\frac{8}{5}$FD．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查切割線定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．