在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（
2
，0），且拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)是橢圓C1的另一個(gè)頂點(diǎn)．
（l）求橢圓C1的方程；
（2）①若直線l：y=kx+m同時(shí)與橢圓C1和曲線C2：x2+y2=
4
3
相切，求直線l的方程．
②若直線l：y=kx+m與橢圓C1交于M，N，且直線OM的斜率是kOM與直線ON的斜率kON滿足kOM+kON=4k（k≠0），求證：m2為定值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析：（1）由已知條件得橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（
2
，0），另一個(gè)頂點(diǎn)為（0，1），由此能求出橢圓C1的方程．
（2）①由
x2
2
+y2=1
y=kx+m
，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，由此利用根的判斷式和橢圓C1和曲線C2相切，能求出直線l的方程．
②設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能證明m2為定值
1
2
．
解答： （1）解：∵拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)為（0，1），
∴橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（
2
，0），另一個(gè)頂點(diǎn)為（0，1），
∴a=
2
，b=1，
∴橢圓C1的方程為
x2
2
+y2=1．
（2）①解：由
x2
2
+y2=1
y=kx+m
，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，（*）
△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=0，
即2k2-m2+1=0，①
直線l與x2+y2=
4
3
相切，則
4
3
=
|m|
1+k2
，
即m2=
4
3
(1+k2)，②
聯(lián)立①②，得k=±
2
2
，m=±
2
，
故l的方程為y=±
2
2
x±
2
．
②證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
由（*）式，得x1+x2=-
4km
1+2k2
，x1x2=
2m2-2
1+2k2
，
kOM+kON=
y1
x1
+
y2
x2
=2k+
m(x1+x2)
x1x2
=4k，
解得m2=
1
2
．
∴m2為定值
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的平方為定值的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)P={x|x≥0}，Q={x|-1≤x＜2}，那么P∪Q=（　�。�
A、{x|}{x|x≤-1或x≥0}
B、{x|x≤-1或x≥2}
C、{x|x≥-1}
D、{x|0≤x＜2}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P可向圓x2+y2=（
b
2
）2作切線PA，PB，若存在點(diǎn)P使得
PA
•
PB
=0，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�
A、[
3
，+∞）
B、（1，
3
]
C、[
3
，
5
）
D、（1，
5
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（
3
2
，1），離心率e=
3
2
，直線l與橢圓交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，向量
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），且
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）當(dāng)直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距）時(shí)，求直線l的斜率k．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線M：y2=2px（ p＞0 ）上一個(gè)橫坐標(biāo)為-3的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為4，過(guò)點(diǎn)P（2，0）且與x軸垂直的直線l1與拋物線M相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與x軸不垂直的直線l2與拋物線M相交于C、D兩點(diǎn)，直線BC與DA相交于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求拋物線M的方程；
（Ⅱ）請(qǐng)判斷點(diǎn)E的橫坐標(biāo)是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎静坏仁?x-5＜3的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

己知兩點(diǎn)F1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足條件||PF1|-|PF2||=2
3
．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E．
（Ⅱ）是否存在過(guò)點(diǎn)G（2，2）的直線l與曲線E交于不同的兩點(diǎn)N，N，使G平分線段MN，試證明你的結(jié)論．
（Ⅲ）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）化簡(jiǎn)f（α）=
sin(
π
2
-α)+sin(-π-α)
3cos(2π+α)+cos(
3π
2
-α)
；
（2）若tanα=2，求f（α）的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)了等差數(shù)列，你是否想到過(guò)有沒(méi)有等和數(shù)列呢？
（1）類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義；
（2）探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)各有什么特點(diǎn)？并加以說(shuō)明．

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同步練習(xí)冊(cè)答案