Question

已知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，b₁=1,b₁+b₂+…+b₁₀=145.

(1)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n;

(2)設(shè)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=log_a(1+)(其中a＞0且a≠1)記S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與log_ab_n+1的大小，并證明你的結(jié)論

Answer 1

（1）b_n=3n－2（2）當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1?,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1

解析:

設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d,由題意得,∴b_n=3n－2

(2)證明：由b_n=3n－2知

 

S_n=log_a(1+1)+log_a(1+)+…+log_a(1+)

=log_a［(1+1)(1+)…(1+ )］

而log_ab_n+1=log_a,于是，比較S_n與log_ab_n+1?的大小比較(1+1)(1+)…

(1+)與的大小.

取n=1，有(1+1)=

取n=2，有(1+1)(1+

推測：(1+1)(1+)…(1+)＞ (^*)

①當(dāng)n=1時(shí)，已驗(yàn)證(^*)式成立.

②假設(shè)n=k(k≥1)時(shí)(^*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞

則當(dāng)n=k+1時(shí)，

,即當(dāng)n=k+1時(shí)，(^*)式成立

由①②知，(^*)式對任意正整數(shù)n都成立.

于是，當(dāng)a＞1時(shí)，S_n＞log_ab_n+1?,當(dāng) 0＜a＜1時(shí)，S_n＜log_ab_n+1