Question

1．若關于x的不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． [0，1]
• C． $[{0，\frac{e}{2}}]$
• D． [0，e]

Answer 1

分析 依題意，分a=0，a＜0，a＞0三類討論，將不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立轉化為a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立（a＜0）或e^x-aex≥0在（0，+∞）上恒成立（a＞0），再分別構造函數(shù)，解之即可．

解答 解：∵不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立，
∴①當a=0時，（ax+1）（e^x-aex）=e^x＞0在（0，+∞）上恒成立；
②當a＜0時，e^x-aex＞0恒成立，故不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立
?ax+1≥0在（0，+∞）上恒成立?a≥-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上恒成立．
∵y=-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上單調遞增，
∴當x→+∞時，y→0，
∴a≥0，又a＜0，∴a∈∅；
③當a＞0時，ax+1＞0恒成立，故不等式（ax+1）（e^x-aex）≥0在（0，+∞）上恒成立
?e^x-aex≥0在（0，+∞）上恒成立?a≤$\frac{{e}^{x-1}}{x}$在（0，+∞）上恒成立，
因此，a≤（$\frac{{e}^{x-1}}{x}$）_min，
令g（x）=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$（x＞0），則g′（x）=$\frac{{xe}^{x-1}{-e}^{x-1}}{{x}^{2}}$=$\frac{{（x-1）e}^{x-1}}{{x}^{2}}$（x＞0），
當0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞減；
當x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增；
∴當x=1時，g（x）=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$（x＞0）取得極小值g（1）=1，也是最小值，
∴0＜a≤1，
綜上所述，0≤a≤1，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，突出考查分類討論思想與等價轉化思想、函數(shù)與方程思想及導數(shù)的綜合運用，對a分a=0，a＜0，a＞0三類討論是關鍵，屬于難題．