【題目】籃球運(yùn)動(dòng)于1891年起源于美國(guó)，它是由美國(guó)馬薩諸塞州斯普林菲爾德（舊譯麻省春田）市基督教青年會(huì)（）訓(xùn)練學(xué)校的體育教師詹姆士·奈史密斯博士（）發(fā)明.它是以投籃、上籃和扣籃為中心的對(duì)抗性體育運(yùn)動(dòng)之一，是可以增強(qiáng)體質(zhì)的一種運(yùn)動(dòng).已知籃球的比賽中，得分規(guī)則如下：3分線外側(cè)投入可得3分，3分線內(nèi)側(cè)投入可得2分，不進(jìn)得0分.經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，某人投籃100次，有20個(gè)是3分線外側(cè)投入，30個(gè)是3分線內(nèi)側(cè)投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨(dú)立事件.

（1）求該人在4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率；

（2）求該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側(cè)投入的概率；

（3）求該人兩次投籃后得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】(1) (2) (3)見(jiàn)解析

【解析】

（1）由古典概型概率公式求出“3分線外側(cè)投入”的概率，利用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)概率公式求解即可；（2）利用獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合對(duì)立事件的概率公式求解即可；（3）兩次投籃后得分的得分可能取值為0，2，3，4，5，6，獨(dú)立事件與互斥事件概率公式求出各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望.

“3分線外側(cè)投入”“3分線內(nèi)側(cè)投入”“不能入籃”分別記為事件，，，則由題意知：，，.

（1）因?yàn)槊看瓮痘@為相互獨(dú)立事件，故4次投籃中恰有三次是3分線外側(cè)投入的概率為

.

（2）記“該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側(cè)投入”為事件，則“該人在4次投籃中沒(méi)有一次是3分線外側(cè)投入”為事件.

易知，

則.

即該人在4次投籃中至少有一次是3分線外側(cè)投入的概率為.

（3）兩次投籃后得分的得分可能取值為0，2，3，4，5，6，

由于該人兩次投籃互不影響，是相互獨(dú)立事件，

表示兩次投籃都不能入籃，則；

表示一次是3分線內(nèi)側(cè)投入，另一次不能入籃，則；

表示一次是3分線外側(cè)投入，另一次不能入籃，則；

表示兩次都是3分線內(nèi)側(cè)投入，則；

表示一次是3分線外側(cè)投入，另一次是3分線內(nèi)側(cè)投入，則；

表示兩次都是3分線外側(cè)投入，則.

所以的分布列為

0

2

3

4

5

6

P

數(shù)學(xué)期望為.

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圖一:

鼠1

牛2

虎3

兔4

雞10

狗11

豬12

龍5

猴9

羊8

馬7

蛇6

圖二:

雞1

鼠2

牛3

虎4

猴10

狗11

豬12

兔5

羊9

馬8

蛇7

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