Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x），若對任意x₀=x₁-x₂且x₁≠x₂，若對任意的x₁，x₂，都有$\frac{{f（{x_0}+{x_2}）-f（{x_1}-{x_0}）}}{x_0}$＜0，則稱函數(shù)f（x）為“T函數(shù)”，給出下列函數(shù)：（1）y=e^-3x-x；（2）y=-x³+3x-3x+1；（3）y=$\frac{ln（-x）}{x}$；（4）y=-x-sinx．其中“T函數(shù)”的個數(shù)3．

Answer 1

分析 由題意對任意x₀=x₁-x₂且x₁≠x₂，若對任意的x₁，x₂，都有$\frac{{f（{x_0}+{x_2}）-f（{x_1}-{x_0}）}}{x_0}$＜0，可化解為$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，可知函數(shù)f（x）定義在R上是減函數(shù)．即可判斷各函數(shù)．

解答 解：由題意：對任意x₀=x₁-x₂且x₁≠x₂，若對任意的x₁，x₂，都有$\frac{{f（{x_0}+{x_2}）-f（{x_1}-{x_0}）}}{x_0}$＜0，可化解為$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，可知函數(shù)f（x）定義在R上是減函數(shù)．
對于（1）y=e^-3x-x；∵y₁=e^-3x是減函數(shù)，y₂=-x是減函數(shù)，∴y=e^-3x-x是減函數(shù)．（1）是“T函數(shù)”；
對于（2）y=-x³+3x²-3x+1；求導(dǎo)y′=-3（x-1）²，y′＜0，可知y=-x³+3x²-3x+1在（-∞，+∞）是減函數(shù)．（2）是“T函數(shù)”；
對于（3）y=$\frac{ln（-x）}{x}$，其定義域為{x|x＜0}，求導(dǎo)y′=-$\frac{[1+ln（-x）]}{{x}^{2}}$，令y′=0，解得：x=$-\frac{1}{e}$，可知y=$\frac{ln（-x）}{x}$在（-∞，$-\frac{1}{e}$）是增函數(shù)，在（$-\frac{1}{e}，0$）是減函數(shù)，（3）不是“T函數(shù)”；
對于（4）y=-x-sinx：求導(dǎo)y′=-1-cosx，y′＜0，可知y=-x-sinx在（-∞，+∞）是減函數(shù)（4）是“T函數(shù)”；
故答案為3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的討論，利用到了導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題．屬于中檔題．