12.如圖,直角△ABC中,AB=1,BC=2,∠ABC=90°,作△ABC的內(nèi)接正方形BEFB1,再作△B1FC的內(nèi)接正方形B1E1F1B2,…,依次下去,所有正方形的面積依次構(gòu)成數(shù)列{an},其前n項(xiàng)和為$\frac{4}{5}$$[1-(\frac{4}{9})^{n}]$.

分析 由題意可得:△ACB∽△FB1C,可得$\frac{AB}{F{B}_{1}}=\frac{BC}{{B}_{1}C}$,即$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}=\frac{2}{2-\sqrt{{a}_{1}}}$,解得$\sqrt{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$,a1=$\frac{4}{9}$;同理可得:$\sqrt{{a}_{n}}$=$(\frac{2}{3})^{n}$,${a}_{n}=(\frac{4}{9})^{n}$.利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:由題意可得:△ACB∽△FB1C,
∴$\frac{AB}{F{B}_{1}}=\frac{BC}{{B}_{1}C}$,∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{1}}}=\frac{2}{2-\sqrt{{a}_{1}}}$,解得$\sqrt{{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$,a1=$(\frac{2}{3})^{2}$=$\frac{4}{9}$;
同理可得:$\sqrt{{a}_{2}}$=$(\frac{2}{3})^{2}$,a2=$(\frac{4}{9})^{2}$;
…,
可得:$\sqrt{{a}_{n}}$=$(\frac{2}{3})^{n}$,${a}_{n}=(\frac{4}{9})^{n}$.
∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和=$\frac{\frac{4}{9}[1-(\frac{4}{9})^{n}]}{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{4}{5}$$[1-(\frac{4}{9})^{n}]$.
故答案為:$\frac{4}{5}$$[1-(\frac{4}{9})^{n}]$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、三角形相似的性質(zhì)、正方形的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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