Question

【題目】設(shè)是實(shí)數(shù)，，

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求的值；

（2）試用定義證明：對(duì)于任意，在上為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）由奇函數(shù)的定義，可得，化簡(jiǎn)整理，解方程可得的值；（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，分取值、作差、變形和定符號(hào)、下結(jié)論等；（3）由于為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，由題意可得，等價(jià)于對(duì)任意恒成立，將二次函數(shù)的對(duì)稱軸與0進(jìn)行比較，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可得到所求的范圍．

（1）∵，且

∴，∴.

（2）證明：設(shè)，則

∵∴

∴即，所以在上為增函數(shù)．

（3）因?yàn)?/span>為奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，

由得：

∴即對(duì)任意恒成立．

令問(wèn)題等價(jià)于對(duì)任意恒成立．

令，其對(duì)稱軸

當(dāng)即時(shí)，，符合題意．

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，對(duì)任意，恒成立，等價(jià)于

解得：

綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式對(duì)任意恒成立