Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+1，（a，b是實(shí)數(shù)），x∈R，F(x)=

f(x)，(x＞0) -f(x)，(x＜0)

．
（1）若f（-1）=0并且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求函數(shù)F（x）的表達(dá)式；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，3]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax²+bx+1，f（-1）=0，知a-b+1=0，由x∈R，f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），知b²-4（b-1）=0，由此能求出函數(shù)F（x）的表達(dá)式．
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，x∈[-2，2]，對(duì)稱軸方程是x=

k-2

2

，由此能求出當(dāng)x∈[-2，3]時(shí)，g（x）=f（x）-kx是單調(diào)函數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx+1，f（-1）=0，
∴a-b+1=0，
∵x∈R，f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴

a＞0 △=b2-4a=0

，
∴b²-4（b-1）=0，
即（b-2）²=0，∴b=2，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴F（x）=

(x+1)2，(x＞0) -(x+1)2，(x＜0)

．…（6分）
（2）g（x）=f（x）-kx=x²+（2-k）x+1，x∈[-2，2]，
對(duì)稱軸方程是x=

k-2

2

，
由圖象可得，當(dāng)

k-2

2

≤-2或

k-2

2

≥3，
即k≤-2或k≥8時(shí)，g（x）是單調(diào)函數(shù)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．