Question

4．國(guó)慶期間，我校高三（1）班舉行了社會(huì)主義核心價(jià)值觀知識(shí)競(jìng)賽，某輪比賽中，要求參賽者回答全部5道題，每一道題回答正確記1分，否則記-1分．據(jù)以往統(tǒng)計(jì)，甲同學(xué)能答對(duì)每一道題的概率均為$\frac{2}{3}$．甲同學(xué)全部回答完這5道題后記他的得分為X
（1）求X=1的概率；
（2）記隨機(jī)變量Y=|X|，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題意利用n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式能求出X=1的概率．
（2）記隨機(jī)變量Y=|X|，則Y的取值為1，3，5，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）由題意知X=1的概率P=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{80}{243}$．
（2）記隨機(jī)變量Y=|X|，則Y的取值為1，3，5，
P（Y=1）=${C}_{5}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）^{2}$+${C}_{5}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{40}{81}$，
P（Y=3）=${C}_{5}^{4}（\frac{2}{3}）^{4}（\frac{1}{3}）+{C}_{5}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{30}{81}$，
P（Y=5）=$\frac{11}{81}$，
Y的分布列為：

Y	1	3	5
p	$\frac{40}{81}$	$\frac{30}{81}$	$\frac{11}{81}$

EY=$1×\frac{40}{81}+3×\frac{30}{81}+5×\frac{11}{81}$=$\frac{185}{81}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用．