Question

12．已知數(shù)列{a_n}（n∈N^*）滿足a₁=1，a_n+1=3a_n+2．
（Ⅰ）證明{a_n+1}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₃$\frac{{a}_{n}+1}{2}$，記T_n=$\frac{1}{_{2}_{4}}$+$\frac{1}{_{3}_{5}}$+$\frac{1}{_{4}_{6}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a_n+1=3a_n+2，變形為a_n+1+1=3（a_n+1）．即可證明．利用等比數(shù)列的通項公式可得a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=log₃$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=n-1，可得$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$．利用“裂項求和”即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+1=3a_n+2，∴a_n+1+1=3（a_n+1）．
∴{a_n+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為3．
a_n+1=2×3^n-1，解得a_n=2×3^n-1-1．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知b_n=log₃$\frac{{a}_{n}+1}{2}$=n-1，
∴$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{_{2}_{4}}$+$\frac{1}{_{3}_{5}}$+$\frac{1}{_{4}_{6}}$+…+$\frac{1}{_{n}_{n+2}}$=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-2}-\frac{1}{n}）$+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{2{n}^{2}+2n}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．