Question

（本小題滿分14分）
若函數(shù)對任意的實數(shù)，，均有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“平緩函數(shù)”.  
(1) 判斷和是不是實數(shù)集R上的“平緩函數(shù)”，并說明理由；
(2) 若數(shù)列對所有的正整數(shù)都有 ，設(shè),
求證： .

Answer 1

(1)不是，理由見解析   (2)見解析

（本小題主要考查函數(shù)、絕對值不等式等基礎(chǔ)知識，考查函數(shù)與方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、創(chuàng)新意識）
（1）解：是R上的“平緩函數(shù)”，但不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”；
設(shè)，則,則是實數(shù)集R上的增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，即，      
則.   ①                           …………… 1分
又也是R上的增函數(shù)，則，
即，      ②             ………… 2分
由①、②得   .            
因此,，對都成立.           ……… 3分
當(dāng)時，同理有成立
又當(dāng)時，不等式，
故對任意的實數(shù)，R,均有.
因此 是R上的“平緩函數(shù)”.         ………… 5分
由于                ………… 6分
取，，則，     ………… 7分
因此， 不是區(qū)間R的“平緩函數(shù)”.             ………… 8分
（2）證明:由（1）得：是R上的“平緩函數(shù)”，
則， 所以 .    …………… 9分
而，
∴ .           …………… 10分
∵,……… 11分
∴.           …………… 12分
∴
                ………… 13分
.                ………… 14分