Question

拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，A，B是C上的兩點(diǎn)，且AF⊥FB，弦AB中點(diǎn)M在C的準(zhǔn)線上的射影為M′，則

|AB|

|MM′|

的最小值為（　�。�

• A、

  3

• B、

  2

  2

• C、

  2

• D、

  3

  2

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線定義結(jié)合梯形的中位線定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得

|AB|

|MM′|

的最小值．

解答： 解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線上的射影點(diǎn)分別為Q、P，連接AQ、BQ　　
由拋物線定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線定理，得2|MM′|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（

a+b

2

）²=

1

2

（a+b）²
得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
所以

|AB|

|MM′|

≥

2 2 (a+b)

1 2 (a+b)

=

2

，即

|AB|

|MM′|

的最小值為

2

．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線的弦AB對(duì)焦點(diǎn)F所張的角為直角，求AB中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離與AB比值的取值范圍，著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、梯形的中位線定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．