Question

8．在△ABC中，D是AC邊的中點(diǎn)，A=$\frac{π}{3}$，cos∠BDC=-$\frac{2}{\sqrt{7}}$，△ABC的面積為3$\sqrt{3}$，則sin∠ABD=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，BC=6．

Answer 1

分析 過B作BH⊥AC于H，則cos∠BDH=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，設(shè)DH=2k（k＞0），則BD=$\sqrt{7}$k，BH=$\sqrt{3}$k，在Rt△ABH中，由∠A=$\frac{π}{3}$，得AH=k，從而AD=3k，AC=6k，由S_△ABC=$\frac{1}{2}×6k×\sqrt{3}k$=3$\sqrt{3}{k}^{2}$=3$\sqrt{3}$，求出BC=6，再由$\frac{BD}{sinA}=\frac{AD}{sin∠ABD}$，能求出sin∠ABD．

解答 解：過B作BH⊥AC于H，則cos∠BDH=$\frac{DH}{BD}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
設(shè)DH=2k（k＞0），則BD=$\sqrt{7}$k，
∴BH=$\sqrt{B{D}^{2}-D{H}^{2}}$=$\sqrt{3}$k，
在Rt△ABH中，∠A=$\frac{π}{3}$，∴AH=$\frac{BH}{\sqrt{3}}$=k，
∴AD=3k，AC=6k，
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AC×BH=$\frac{1}{2}×6k×\sqrt{3}k$=3$\sqrt{3}{k}^{2}$=3$\sqrt{3}$，
解得k=1，∴BC=6，
在△ABD中，$\frac{BD}{sinA}=\frac{AD}{sin∠ABD}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{3}{sin∠ABD}$
解得sin∠ABD=$\frac{3\sqrt{21}}{14}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{21}}{14}$，6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的內(nèi)角的正弦值的求法，考查三角形的邊的求法，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．