8.已知橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,短軸長(zhǎng)為4.橢圓與直線(xiàn)y=x+2相交于A(yíng)、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;  
(2)求弦長(zhǎng)|AB|

分析 (1)由橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,短軸長(zhǎng)為4,列出方程組,能求出橢圓方程.
(2)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$,得5x2+16x=0,由此能求出弦長(zhǎng)|AB|.

解答 解:(1)∵橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$,短軸長(zhǎng)為4,
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2b=4}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$,
解得a=4,b=2,
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1.
(2)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+2}\end{array}\right.$,得5x2+16x=0,
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=2}\end{array}\right.$,$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{16}{5}}\\{{y}_{2}=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$,
∴A(0,2),B(-$\frac{16}{5}$,-$\frac{6}{5}$),
∴|AB|=$\sqrt{(-\frac{6}{5}-2)^{2}+(-\frac{16}{5}-0)^{2}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,考查弦長(zhǎng)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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