Question

(本題滿(mǎn)分18分) 本題共有3個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分. 第3小題滿(mǎn)分8分.
（文）對(duì)于數(shù)列，從中選取若干項(xiàng)，不改變它們?cè)谠瓉?lái)數(shù)列中的先后次序，得到的數(shù)列稱(chēng)為是原來(lái)數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列. 某同學(xué)在學(xué)習(xí)了這一個(gè)概念之后，打算研究首項(xiàng)為,公差為的無(wú)窮等差數(shù)列的子數(shù)列問(wèn)題，為此，他取了其中第一項(xiàng)，第三項(xiàng)和第五項(xiàng).
(1) 若成等比數(shù)列,求的值；
(2) 在, 的無(wú)窮等差數(shù)列中，是否存在無(wú)窮子數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)給出數(shù)列的通項(xiàng)公式并證明；若不存在，說(shuō)明理由；
(3) 他在研究過(guò)程中猜想了一個(gè)命題：“對(duì)于首項(xiàng)為正整數(shù)，公比為正整數(shù)()的無(wú)窮等比數(shù)  列,總可以找到一個(gè)子數(shù)列,使得構(gòu)成等差數(shù)列”. 于是，他在數(shù)列中任取三項(xiàng)，由與的大小關(guān)系去判斷該命題是否正確. 他將得到什么結(jié)論？

Answer 1

（1）d=0（2）存在b_n=4^n-1為符合條件的一個(gè)子數(shù)列，因?yàn)閎_n="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{a_n}中的第M+1項(xiàng)（3）通過(guò)計(jì)算可以得到>，從而原命題為假命題

解析試題分析：(1)由a₃²=a₁a₅，                                               ……2分
即(a₁+2d)²=a₁(a₁+4d)，得d=0.                                            ……4分
(2) a_n=1+3(n-1)，如b_n=4^n-1便為符合條件的一個(gè)子數(shù)列.                      ……7分
因?yàn)閎_n=4^n-1=(1+3)^n-1=1+3+3²+…+3^n-1=1+3M,                      ……9分
這里M=+3+…+3^n-2為正整數(shù)，
所以,b_n="1+3M" ="1+3" [(M+1)-1]是{a_n}中的第M+1項(xiàng)，得證.                   ……11分
(注：b_n的通項(xiàng)公式不唯一)
(3) 該命題為假命題.                                                 ……12分
由已知可得,
因此,,又,
故 ,        ……15分
由于是正整數(shù)，且，則,
又是滿(mǎn)足的正整數(shù)，則,
,
所以，> ,從而原命題為假命題.                                ……18分
考點(diǎn)：本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列是綜合運(yùn)算，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解以及推理論證的能力.
點(diǎn)評(píng)：等差數(shù)列和等比數(shù)列是高考中常考的兩種特殊數(shù)列，它們的判定和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用要熟練掌握，靈活應(yīng)用.